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연립방정식의 활용 – 수학방
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연립방정식 문제 유형 (A=B=C) – 수학냥이 수수니
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주제에 대한 기사 평가 연립 방정식 문제
- Author: EBS Learning
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- Date Published: 2020. 3. 20.
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연립방정식의 활용
이제까지 연립방정식과 그 풀이법(가감법, 대입법)에 대해서 알아봤어요. 이번 글에서는 이런 방법들을 응용해서 실제로 어떻게 문제를 푸는 지 설명할게요.
연립방정식의 활용에서 제일 중요한 것은 식을 세우는 과정이에요. 문제에서 요구하는 값을 구할 수 있는 식을 제대로 세우는 연습을 많이 해야 해요.
일차방정식의 활용 1, 일차방정식의 활용 2에서 했던 내용과 큰 차이는 없어요. 식이 연립방정식이라는 것 빼고는요. 즉, 연립방정식 방정식 2개를 만들어야 해요. 그때의 기억을 되살려보세요.
연립방정식의 활용 문제 푸는 단계
구하려고 하는 것을 x, y로
연립방정식을 활용하는 문제에서 첫 번째 해야 할 일은 문제에서 구하는 것이 무엇인지를 파악하는 거예요. 대부분은 문제 마지막에 “…?을 구하여라.”라고 나오니까 금방 찾을 수 있어요. 문제에서 구하라고 하는 것을 미지수, x, y로 놓습니다. 연립방정식 세우기
문제에서 준 정보와 미지수를 잘 조합해서 식을 세워야 해요. 연립방정식 문제니까 식은 당연히 2개가 나오겠죠. 연립방정식 풀기
만들어진 연립방정식을 가감법과 대입법을 이용해서 풉니다. 결과 확인
푼 결과가 실제로 맞는지 확인하세요.
시간, 거리, 속력에 관한 문제
거리, 시간, 속력에 관한 문제는 수학에서는 빼놓지 않고 나오는 문제에요. 일차방정식은 물론 이차방정식, 부등식, 함수에서까지 모든 영역에서 나오는 문제입니다. 수학뿐 아니라 과학시간에도 배우는 내용이죠.
그래서 거리, 속력, 시간 구하는 공식을 꼭 외워야 해요.
왼쪽에 있는 그림을 기억하세요. 가로로 그어져 있는 선을 분수에서 사용하는 그 가로선이라고 생각하면 되겠죠.
이 유형에서 주의해야 할 건 단위에요. 단위가 시간인지 분인지 km인지 m 인지 꼭 확인해야 해요.
선영이는 집에서 학교까지 3km를 가는 동안 처음에는 시속 3km의 속력으로 걷다가 중간에 시속 5km의 속력으로 뛰어서 총 40분이 걸렸다. 선영이가 학교까지 뛰어간 거리를 구하여라.
집에서 학교까지의 거리가 3km니까 걸어간 거리를 x, 뛰어간 거리를 y라고 하면 x + y = 3이에요.
이번에는 시간을 한 번 계산해보죠. 그런데 속력은 단위가 시속이므로 시단위이고 걸린 시간은 40분으로 분단위예요. 두 시간의 단위를 맞추려면 40분을 시간으로 바꿔줘야 해요.
걸어간 시간 = , 뛰어간 시간 = , 총 걸린 시간 =
연립방정식이 만들어졌어요.
①식에서 y = 3 – x
②식에 대입하면
5x + 3(3 – x) = 10
5x – 3x + 9 = 10
2x = 1
x = 0.5
y = 2.5
따라서 선영이가 학교까지 뛰어간 거리는 2.5km네요.
농도에 관한 문제
농도에 관한 문제 역시 빠지지 않고 나오는 문제입니다. 어쩔 수 없지만, 공식을 외워야 하고요.
농도에 관한 문제에서도 g과 kg의 단위에 주의하세요.
두 소금물 A, B를 하나로 섞었을 때
(A + B)의 소금의 양 = A 소금의 양 + B 소금의 양
(A + B) 소금물의 양 = A 소금물의 양 + B 소금물의 양
(A + B) 의 농도 = (A + B)의 소금의 양 / (A + B) 소금물의 양 * 100
어떤 경우에도 농도는 +/-로 구할 수 없어요. 두 소금물을 더했다고 해서 각각의 농도를 더해서 구하면 안된다는 얘기예요. 위 농도 공식에 있는 방법으로만 농도를 구해야 해요.
소금물 A을 가열했을 때
가열한 후의 소금양 = 가열 전의 소금양
가열한 후의 소금물의 양 = 가열 전 소금물의 양 – 증발한 물의 양
소금물 A에 물만 넣었을 때
물을 넣은 후의 소금양 = 물을 넣기 전의 소금양
물을 넣은 후의 소금물의 양 = 물을 넣기 전의 소금물의 양 + 넣은 물의 양
8% 소금물에 5% 소금물을 섞어서 6% 소금물 600g을 만들려고 한다. 8% 소금물과 5% 소금물의 양을 구하여라.
두 소금물을 섞어서 600g의 소금물을 만든다고 했으니까, 8% 소금물의 양을 x, 5% 소금물의 양을 y라고 하면 x + y = 600이라는 식을 하나 만들 수 있어요.
8% 소금물과 5% 소금물에 들어있는 소금의 양을 합치면 6% 소금물 600g에 들어있는 소금의 양과 같아요. 이걸 식으로 써보죠.
(8% 소금물에 들어있는 소금의 양) + (5% 소금물에 들어있는 소금의 양) = (6% 소금물에 들어있는 소금의 양)
연립방정식이 만들어졌네요.
①식에서 y = 600 – x
②식에 대입하면
8x + 5(600 – x) = 3600
3x = 600
x = 200
y = 400
8% 소금물은 200g, 5% 소금물은 400g이네요.
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연립방정식 문제 유형 (A=B=C)
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A=B=C꼴의 연립방정식은 아래와 같이 세 가지 경우로 나타낼 수 있으며,
(1), (2), (3)의 해는 모두 같기 때문에 이 중에서 하나의 연립방정식을 택하여 해를 구하면 됩니다.
[이전글보기/부등식, 연립방정식] – 연립방정식 풀이 방법 (가감법, 대입법)예 ) -2x+6y=3x-4y=10 연립방정식 -2x+6y=3x-4y=10은
으로 나타낼 수 있습니다.
일반적으로 우변에 상수항만 있는 (3)의 경우가 계산하기에 간단하므로 (3)을 택합니다.
을 가감법을 이용하여 풀어보도록 해요.
① 우선 x를 소거한다고 생각하면 2와 3의 최소공배수는 2×3=6이므로 (a)의 식에 3를 곱하고 (b)의 식에 2를 곱합니다.
②
(c)에서 (d)를 좌변은 좌변끼리 우변은 우변끼리 더하면 10y=50 이므로 y=5입니다.
③ y=5를 (b)의 식에 대입해서 일차방정식을 풀면
이므로 연립방정식의 해는 x=10, y=5 입니다.
마찬가지로
중에 어느 하나를 택한 후에 해를 구하면 됩니다.
을 택한다면,
우선 계수가 분수이므로 정수로 만들기 위해 양변에 최소공배수를 곱합니다.
즉 (a)의 양변에 2와 3의 최소공배수 6을 곱하고 (b)의 양변에 2와 4의 최소공배수 4를 곱하면
이고,
문자가 있는 항을 좌변으로 이항해서 정리하면
입니다.
가감법을 이용하여 해를 구해보면,
① x를 소거하기 위해 (c)의 양변에 2를 곱합니다.
②
(e)에서 (d)를 좌변은 좌변끼리 우변은 우변끼리 빼면 y=20 입니다.
③ y=20을 (c) -x-3y=6에 대입하면 -x-3×(20)=6, -x-60=6, x=-66이므로
연립방정식의 해는 x=-66, y=20 입니다.
위와 같은 방법으로
중에 하나의 연립방정식을 택해서 해를 구할 수도 있지만,
다른 방법으로
의 분모 2, 3, 6의 최소공배수 6을 모든 변에 곱해서 계수가 정수인 연립방정식을 만든 후에 해를 구해보도록 해요.
연립방정식 3x+3y=4x+2y+4=5x-4y-7 은
으로 나타낼 수 있습니다.
을 택해서 문자가 있는 항을 좌변으로 이항해서 정리하면
입니다.
가감법을 이용하여 해를 구해보면,
① x를 소거하기 위해 (a)의 양변에 2를 곱합니다.
②
(c)에서 (b)를 좌변은 좌변끼리 우변은 우변끼리 빼면 -5y=15, y=-3 입니다.
③ y=-3을 (a) -x+y=4에 대입하면 -x+(-3)=4, x=-7이므로
연립방정식의 해는 x=-7, y=-3 입니다.
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