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조작이 없는 완벽한 주사위가 있다고 할때, 이전에 던진 값이 1이든 6이든 상관없이 다음번 던질때 각면이 나올 확률은 1/6 로 변치 않는다. 이것이 독립시행이다.
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독립시행의 확률 공식 – 켄아담스
[독립시행의 확률 공식]. 오늘은 독립 시행의 확률 공식에. 대해서 알아보겠습니다. 이전에 ‘독립’이라는 개념에. 대해서는 다뤄본 적이 있습니다.Source: kenadams.tistory.com
Date Published: 9/14/2021
View: 2165
[적분과 통계 이론 40탄] 독립시행의 확률 – winner
01. 독립시행의 확률을 시작하며… 02. 독립시행의 확률 03. 독립시행의 확률 문제 04. 독립시행의 확률과 경우의 수.
Source: j1w2k3.tistory.com
Date Published: 3/9/2021
View: 6880
수학 공식 | 고등학교 > 확률의 곱셈정리와 독립시행의 확률
매번 같은 조건에서 어떤 시행을 반복할 때, 각 시행의 결과가 다른 시행의 결과에 아무런 영향을 주지 않는 경우, 즉 매번 일어나는 사건이 서로 독립인 …
Source: www.mathfactory.net
Date Published: 8/7/2021
View: 4070
[5분 고등수학] 독립시행
우리가 주사위를 던질 때, 이번에 2가 나왔다고 해서 다음번에 2가 나올 확률이 달라지지 않죠. 매번 던질 때마다 각각의 눈이 나올 확률은 1/6으로 일정 …
Source: hsm-edu-math.tistory.com
Date Published: 11/13/2022
View: 1911
독립 (확률론) – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
확률론에서 두 사건이 독립(獨立, 영어: independent)이라는 것은, 한 사건이 일어날 확률이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 미치지 않는다는 것을 의미한다.
Source: ko.wikipedia.org
Date Published: 11/8/2022
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- Date Published: 2016. 1. 14.
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독립시행의 확률 공식
[독립시행의 확률 공식]오늘은 독립 시행의 확률 공식에
대해서 알아보겠습니다.
이전에 ‘독립’이라는 개념에
대해서는 다뤄본 적이 있습니다.
2016/05/16 – [수학 스터디] – 독립사건과 배반사건의 차이
위 개념을 숙지한 상태로
독립시행의 의미를 먼저 살펴보면
어떤 시행을 여러번 할 때
매 사건이 독립인 경우
이를 독립시행이라고 합니다.
공식을 살펴보면
역시 이해가 어려우니
주사위로 예시를 들어서
위 공식을 표현해보겠습니다.
주사위 예시를 보면
조금 감이 올거라 생각됩니다.
위처럼 독립시행의 확률을
구하는 공식은
주사위를 던지는 것과 같은
독립시행을 n번 했을 때
3의 눈이 나오는 사건 (사건A)이
r번 일어날 확률을
구하는 공식입니다.
위와 같은 공식이 나오는 원리는
위와 같이 사건 A에 대해
특정 횟수만큼 사건 A가 일어나는
경우의 수를 구할 수 있습니다. (조합)
그리고 각 경우의 수가 발생할
수 있는 확률을 구할 수 있으며
그 값은 일정합니다.
최종 확률은 각 경우의 수의
확률을 더해준 값이므로
경우의수 X 각 경우의 수의 확률을
통해서 최종 확륭를 구할 수 있습니다.
수학 공식 | 고등학교 > 확률의 곱셈정리와 독립시행의 확률
확률의 곱셈정리
두 사건 $ {A} $와 $ {B} $가 동시에 일어날 확률은
\begin{align*}
\mathrm{P}({A} \cap {B}) = \mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B|A) = \mathrm{P}(B) \mathrm{P}(A|B)
\end{align*} 서로 독립인 두 사건 $ {A} $와 $ {B} $가 동시에 일어날 확률은
\begin{gather*}
\mathrm{P}({A} \cap {B}) = \mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B)
\end{gather*}
$ \mathrm{P}(B|A) = \dfrac{\mathrm{P}({A} \cap {B})}{\mathrm{P}(A)} $에서
\begin{gather*}
\mathrm{P}({A} \cap {B}) = \mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B|A)
\end{gather*}
$ \mathrm{P}(A|B) = \dfrac{\mathrm{P}({A} \cap {B})}{\mathrm{P}(B)} $에서
\begin{gather*}
\mathrm{P}({A} \cap {B}) = \mathrm{P}(B) \mathrm{P}(A|B)
\end{gather*}
흰 공 $ 4 $개, 붉은 공 $ 8 $개가 들어 있는 주머니가 있다. 갑이 먼저 공을 하나 꺼내고, 그 다음 을이 공을 하나 꺼낸다. 갑이 꺼낸 공을 다시 넣지 않을 때, 둘 다 흰 공을 꺼낼 확률을 구하여라. 갑이 꺼낸 공을 다시 넣을 때, 둘 다 흰 공을 꺼낼 확률을 구하여라.
갑이 흰 공을 꺼내는 사건을 $ A $, 을이 흰 공을 꺼내는 사건을 $ B $라 하면 $ \displaystyle \mathrm{P}({A} \cap {B}) = \mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B|A) = \frac{4}{12} \times \frac{3}{11} = \frac{1}{11} $ 두 사건은 서로 독립이므로
\begin{gather*}
\mathrm{P}({A} \cap {B}) = \mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B) = \frac{4}{12} \times \frac{4}{12} = \frac{1}{9}
\end{gather*}
독립시행
매번 같은 조건에서 어떤 시행을 반복할 때, 각 시행의 결과가 다른 시행의 결과에 아무런 영향을 주지 않는 경우, 즉 매번 일어나는 사건이 서로 독립인 경우, 이러한 시행을 독립시행이라고 한다.
독립시행의 확률
한 번 시행에서 사건 $ A $가 일어날 확률이 $ p $이고, 이 시행을 독립적으로 $ n $회 반복할 때 사건 $ A $가 $ r $회 일어날 확률은 \begin{align*}
\phantom{}_{n}\mathrm{C}_{r} p^r (1-p)^{n-r} \ \ ( r = 0, \ 1, \ 2, \ \cdots, \ n )
\end{align*}
동전을 $ 10 $번 던질 때, 앞면이 $ 3 $번 나올 확률을 구하여라.
[5분 고등수학] 독립시행
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독립시행의 정의는 아래와 같습니다.
“어떤 시행을 여러번 반복할 때, 각 시행이 서로 독립인 경우의 시행”
예를 들면 주사위 던지기가 있습니다. 우리가 주사위를 던질 때, 이번에 2가 나왔다고 해서 다음번에 2가 나올 확률이 달라지지 않죠. 매번 던질 때마다 각각의 눈이 나올 확률은 1/6으로 일정합니다. 이런 시행을 독립시행이라고 합니다.
이번에는 독립시행의 확률을 공부해봅시다. 독립시행의 확률의 정의는 아래와 같습니다.
“시행을 1번 했을 때, A가 발생할 확률을 P라고 하자. 이 시행을 n번 했을 때 A가 r번 일어날 확률이 ‘독립시행의 확률’이다”
예를들어 봅시다. 주사위를 한번 던질 때, 홀수의 눈이 나올 확률을 1/2입니다. 이 주사위를 n번 던졌을 때, 홀수의 눈이 r번 나올 확률이 독립시행의 확률입니다.
주사위를 다섯번 던질 때, 홀수의 눈이 2번 나올 확률을 구해봅시다. 홀수의 눈이 나오는 사건을 A, 나머지 사건을 B라고 한다면 아래와 같은 경우들이 있습니다.
AABBB
ABABB
ABBAB
ABBBA
….
총 몇가지 경우가 있을까요? 5C2가지 경우가 있습니다. 따라서 확률은 아래와 같습니다.
$_5{C}_2\times {\left({\frac{1}{2}}\right)}^2\times {\left({1-\frac{1}{2}}\right)}^3$
일반화를 시켜봅시다. 시행을 n번 했고 사건 A가 r번 일어났으니까 전체 경우는 nCr입니다. n번 시행에서 사건 A가 r번 일어날 확률은 아래와 같습니다.
$_n{C}_r\times {p}^2\times {\left({1-p}\right)}^3$
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위키백과, 우리 모두의 백과사전
확률론에서 두 사건이 독립(獨立, 영어: independent)이라는 것은, 한 사건이 일어날 확률이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 미치지 않는다는 것을 의미한다. 예를 들어서, 주사위를 두 번 던지는 경우 첫 번째에 1이 나오는 사건은 두 번째에 1이 나오는 사건에 독립적이다. 이 밖에도 다양한 독립의 개념이 존재한다. 특히 통계학에서 통계적 독립(statistically independent) 또는 독립성(independence)이라고도 한다.
정의 [ 편집 ]
독립 사건 집합 [ 편집 ]
확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )} 위의 사건들의 집합 S ⊂ F {\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {F}}} 가 다음 조건을 만족시킨다면, S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 가 서로 독립이라고 한다.
모든 유한 집합 { S 1 , … , S n } ⊂ S {\displaystyle \{S_{1},\dots ,S_{n}\}\subset {\mathcal {S}}} Pr ( S 1 ∩ S 2 ∩ ⋯ ∩ S n ) = Pr ( S 1 ) Pr ( S 2 ) ⋯ Pr ( S n ) {\displaystyle \Pr(S_{1}\cap S_{2}\cap \cdots \cap S_{n})=\Pr(S_{1})\Pr(S_{2})\cdots \Pr(S_{n})}
독립 사건 시그마 대수 집합 [ 편집 ]
확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )} 위의, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 의 부분 시그마 대수들의 집합 G ⊂ P ( F ) {\displaystyle {\mathfrak {G}}\subset {\mathcal {P}}({\mathcal {F}})} 이 다음 성질을 만족시킬 경우, G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} 가 서로 독립이라고 한다.
모든 유한 집합 { G 1 , … , G n } ⊂ G {\displaystyle \{{\mathcal {G}}_{1},\dots ,{\mathcal {G}}_{n}\}\subset {\mathfrak {G}}} S i ∈ G i {\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {G}}_{i}} i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} Pr ( ⋂ i = 1 n S i ) = ∏ i = 1 n Pr ( S i ) {\displaystyle \textstyle \Pr(\bigcap _{i=1}^{n}S_{i})=\prod _{i=1}^{n}\Pr(S_{i})}
사건의 집합 S ∈ F {\displaystyle {\mathcal {S}}\in {\mathcal {F}}} 에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치이다.
S {\displaystyle {\mathcal {S}}}
{ σ ( S ) : S ∈ S } {\displaystyle \{\sigma (S)\colon S\in {\mathcal {S}}\}} σ ( S ) = { ∅ , S , Ω ∖ S , Ω } {\displaystyle \sigma (S)=\{\varnothing ,S,\Omega \setminus S,\Omega \}} S {\displaystyle S}
독립 확률 변수 집합 [ 편집 ]
같은 확률 공간 위에 정의된 (공역이 다를 수 있는) 확률 변수의 집합
X i : ( Ω , F , Pr ) → ( S i , G i ) ( i ∈ I ) {\displaystyle X_{i}\colon (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )\to (S_{i},{\mathcal {G}}_{i})\qquad (i\in I)}
에 대하여, 시그마 대수
F i = { X i − 1 ( T ) : T ∈ G i } ⊂ F {\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}=\{X_{i}^{-1}(T)\colon T\in {\mathcal {G}}_{i}\}\subset {\mathcal {F}}}
를 정의할 수 있다. 만약 { F i } i ∈ I {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{i}\}_{i\in I}} 가 시그마 대수의 집합으로서 서로 독립일 경우, 확률 변수의 집합 { X i } i ∈ I {\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}} 이 서로 독립이라고 한다.
성질 [ 편집 ]
확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )} 위의 π계의 집합 P ⊂ P ( F ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}\subset {\mathcal {P}}({\mathcal {F}})} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
{ σ ( P ) : P ∈ P } {\displaystyle \{\sigma ({\mathcal {P}})\colon {\mathcal {P}}\in {\mathfrak {P}}\}}
모든 유한 집합 { P 1 , … , P n } ⊂ P {\displaystyle \{{\mathcal {P}}_{1},\dots ,{\mathcal {P}}_{n}\}\subset {\mathfrak {P}}} S i ∈ P i {\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {P}}_{i}} i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} Pr ( ⋂ i = 1 n S i ) = ∏ i = 1 n Pr ( S i ) {\displaystyle \textstyle \Pr(\bigcap _{i=1}^{n}S_{i})=\prod _{i=1}^{n}\Pr(S_{i})}
확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )} 위의 시그마 대수의 집합 G ⊂ P ( F ) {\displaystyle {\mathfrak {G}}\subset {\mathcal {P}}({\mathcal {F}})} 및 G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} 의 분할 { G i } i ∈ I {\displaystyle \{{\mathfrak {G}}_{i}\}_{i\in I}} 에 대하여, 만약 G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} 가 서로 독립이라면,
{ σ ( ⋃ G i ) : i ∈ I } {\displaystyle \left\{\sigma \left(\bigcup {\mathfrak {G}}_{i}\right)\colon i\in I\right\}}
역시 서로 독립이다.
같이 보기 [ 편집 ]
키워드에 대한 정보 독립 시행 의 확률
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