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특수한 삼각형들의 삼각비 (개념 이해하기) | 여각의 사인과 코사인
지금까지는 계산기를 사용해 어떤 각의 사인, 코사인, 탄젠트값을 구해왔습니다. … 바로 크기가 45도,45도,90도인 삼각형과 크기가 30도,60도,90도인 삼각형입니다.
Source: ko.khanacademy.org
Date Published: 6/3/2021
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값 구하기 sin(-60 도 )
제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다. −sin(60) – sin ( 60 ).
Source: www.mathway.com
Date Published: 10/13/2021
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- Date Published: 2019. 11. 11.
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특수한 각의 삼각비, 30°,45°, 60°
삼각비 중에서도 특수한 각의 삼각비를 구할 거예요.
피타고라스의 정리에서 특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비라는 걸 배웠지요? 특별한 삼각형에서 세 변의 길이에는 일정한 비가 성립한다는 내용이었어요.
삼각비는 삼각형 세 변의 길이의 비예요. 특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비도 길이의 비이므로 삼각비에서 하나도 바꾸지 않고 그대로 사용할 수 있어요.
특수한 삼각형의 세 변의 길이를 삼각비로 바꾸면 어떻게 되는지 알아보죠.
sin45°, cos45°, tan45°
직각이등변삼각형의 내각은 45°, 45° 90°에요. 직각이등변삼각형을 이용해서 45°의 sin, cos, tan 값을 구해볼까요?
먼저 직각이등변삼각형을 그려볼게요. 세 변의 길이의 비가 1 : 1 : 니까 이걸 길이로 써보면 아래 그림처럼 돼요.
sin45° = cos45° = 이고, tan45° = 1이에요. 분모에 무리수가 있으면 유리화해서 사용해야 하는 건 기본이죠?
sin30°, cos30°, tan30°
직각삼각형 한 내각의 크기가 30°이면 다른 각은 60°, 90°가 돼요. 이 삼각형의 세 변의 길이의 비는 1 : : 2이지요. 이 길이의 비를 이용해서 삼각형을 그려보죠.
삼각비를 쉽게 구할 수 있게 각의 위치를 잡았어요. 삼각비를 구해보죠.
sin60°, cos60°, tan60°
직각삼각형의 한 각이 60°면 다른 한 각은 30°가 되겠죠? 즉, 위 30°에 대한 삼각비를 구했던 삼각형과 같은 삼각형이에요. 같은 삼각형인데 삼각비를 쉽게 구할 수 있게 방향을 돌려서 그리는 게 좋겠죠?
30°에 대한 삼각비와 60°에 대한 삼각비는 같은 삼각형에서 구해요. 차이가 있다면 기준각에 따라 밑변과 높이를 나타내는 변이 달라지는 거지요.
빗변은 기준각이 30°일 때와 60°일 때 모두 똑같아요. 기준각이 30°일 때 밑변이었던 것이 기준각이 60°일 때는 높이로 바뀌죠. 또 30°일 때 높이였던 게 60°일 때는 밑변이 되는 거고요.
이런 이유로 30°의 삼각비와 60°의 삼각비는 관계가 깊어요.
sin30° = cos60°, cos30° = sin60°가 됩니다. 또 tan30° = 가 됩니다. 서로 역수인 거죠.
특수한 각의 삼각비
특수한 각의 삼각비 30° 45° 60° sin cos tan
표로 정리했더니 특징이 더 잘 보이죠? 45°에서는 sin과 cos이 같아요.
sin30°와 cos60°가 같고, cos30°와 sin60°가 같고, tan30°와 tan60°는 서로 역수이죠.
위 표에 나온 삼각비는 아주 중요합니다. 삼각비 중에 가장 많이 나오는 거거든요. 그러면 외워야 하는 데 값이 비슷해서 외우기가 힘들어요.
처음부터 외우려고 하지 말고, 이 글에 있는 것처럼 삼각형을 그리고, 세 변의 길이의 비를 이용해서 변의 길이를 쓴 다음에, sin, cos, tan를 구하는 게 좋아요. 이렇게 자주 하다 보면 자기도 모르게 그 값들이 외워지게 되어 있어요.
다음 그림을 보고 x, y의 값을 구하여라.
기준각을 60°로 잡으면 sin60° = = 이므로 y =
cos60° = = 이므로 x = 2가 되네요.
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정리해볼까요 특수한 각의 삼각비 sin45° = cos45° = , tan45° = 1
, tan45° = 1 sin30° = , cos30° = , tan30° =
, cos30° = , tan30° = sin60° = , cos60° = , tan60° =
그리드형(광고전용)
각도에 따른 삼각함수 값 + 외우기 팁
삼각함수 사인, 코사인, 탄젠트의 값 @ 0도, 30도, 45도, 60도, 90도.
# 외우기 팁
우선 사인함수는 0도일 때 0이고 90도일 때 1이다.
30도 45도 60도에서 사인 함수는 분모가 모두 2이고 분자는 루트1, 루트2, 루트3 순으로 증가. *루트1 = 그냥 1, 루트2분의 1 = 2분의 루트2
코사인 함수는 사인 함수의 역순이다.
탄제트 함수는 사인 나누기 코사인 함수로 외우든지 아니면 처음에 0 그리고 루트3이 밑 그리고 1 그리고 루트3이 위, 그리고 마지막으로 무한대.
삼각함수 특수각 표 및 증명
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삼각함수 특수각 표
삼각함수 계산시 자주 쓰이는 각도는 0도, 30도, 45도, 60도, 90도 입니다.
이 각도들을 특수각이라고 하고,
이 특수각에 대한 삼각함수 값은 문제에서 일일이 값을 가르쳐주지 않기 때문에 잘 외워둬야 합니다.
특수각에 대한 삼각함수값을 표로 정리하면 아래와 같습니다.
삼각함수 특수각 증명
삼각함수의 특수각이 나오게 된 이유는 특수각들이 직각삼각형에서 많이 쓰이는 각이기 때문입니다.
i) sin45˚, cos45˚, tan45˚ 의 증명
sin45˚, cos45˚, tan45˚ 의 증명 직각이등변삼각형을 토대로 쉽게 증명 가능합니다.
위 직각 이등변 삼각형에서 선분 BC의 길이(=선분AC의 길이)를 1로 보면,
빗변AB의 길이는 피타고라스의 정리를 이용해 구할 수 있습니다.
위 그림으로부터 45˚에 관한 삼각비를 구할 수 있습니다.
ii) sin30˚, cos30˚, tan30˚ 및 sin60˚, cos60˚, tan60˚의 증명
sin30˚, cos30˚, tan30˚및 sin60˚, cos60˚, tan60˚의 증명은
반원의 원주각 및 외각의 성질로 증명 가능합니다.
위 그림은 두 내각이 각각 30˚와 60˚인 직각삼각형과 그 외접원입니다.
직각삼각형의 외심(외접원의 중심)은 직각삼각형 빗변의 중점이라는 게 알려져있습니다.
따라서 외심 O는 점 A와 B의 중점입니다.
또한 선분 OA, OB, OC는 모두 외접원의 반지름으로 모두 같습니다.
(반지름의 길이를 임의로 1로 두겠습니다.)
삼각형 OBC는 이등변 삼각형이 되는군요. 따라서 ∠OBC와 ∠OCB는 30˚로 서로 같습니다.
한편, ∠COA는 삼각형OBC의 외각으로, ∠OBC와 ∠OCB의 합과 같습니다.
이를 그림으로 나타내면 아래와 같습니다.
삼각형 AOC를 보면 ∠OAC=∠AOC=∠OCA=60˚인 정삼각형이 됩니다.
따라서 변AC는 외접원의 반지름인 1과 같습니다.
원래의 직각삼각형 ABC를 보면, 빗변인 AB의 길이가 2, 높이인 AC의 길이가 1임을 알 수 있습니다.
피타고라스의 정리를 쓰면 밑변 BC의 길이를 구할 수 있습니다.
정리하면 다음 그림처럼 되고,
그림으로부터 sin30˚, cos30˚, tan30˚ 및 sin60˚, cos60˚, tan60˚ 를 구할 수 있습니다.
증명 완료//
특수각에 대한 삼각함수 값 정도는 외워둬야 실전에 활용할 수 있습니다.
단순한 암기도 중요하지만 왜 그런 값이 나오는지에 대해 고민해보고 위의 방식처럼 유도해보는 것도 좋은 공부방법이라 할 수 있겠습니다.
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[중3-2] 2. 30, 45, 60도일 때 삼각비(sin,cos,tan)의 값 (개념+수학문제)
* 같이 보면 좋은 글
📄 삼각비의 뜻 : sin, cos, tan
* 되돌아보기
각 C=90˚인 직각삼각형 ABC에 대하여
sinB = (높이)÷(빗변) = (변 AC)÷(변 AB)
cosB = (밑변)÷(빗변) = (변 BC)÷(변 AB)
tanB = (높이)÷(밑변) = (변 AC)÷(변 BC)
를 만족합니다.
* 30, 45, 60도일 때 삼각비의 값
(1) 30도, 60도일 때 삼각비의 값
정삼각형 ABC에 대하여 변 BC의 중점을 M이라고 생각해봅시다.
선분 AM은 이등변삼각형의 성질에 따라 변 BC를 수직이등분합니다.
따라서 삼각형 ABM은 직각삼각형입니다.
직각삼각형 ABM에서
(각 ABM) = 60˚
(각 BAM) = (각 BAC)÷2 = 30˚으로,
세 각이 30˚, 60˚, 90˚인 직각삼각형을 만들 수 있습니다.
이제 삼각형 ABM의 삼각비를 조사해봅시다.
선분 BM의 길이를 1이라고 놓을 때선분 BC의 길이는 2이고 삼각형 ABC는 한 변의 길이가 2인 정삼각형입니다.따라서 선분 AB의 길이는 2입니다.
피타고라스의 정리를 이용하면 선분 AM의 길이를 구할 수 있습니다.
(선분 AB의 길이)^2 = (선분 AM의 길이)^2 + (선분 BM의 길이)^2
가 성립하므로
2^2 = (선분 AM의 길이)^2 +1^2
(선분 AM의 길이)^2 = 3이 됩니다.
따라서 선분 AM의 길이는
입니다.
정리하면 (선분 AB) : (선분 AM) : (선분 BM)은
의 비를 갖습니다.
(각 BAM) = 30˚으로
sin30˚ = (선분 BM)÷(선분 AB)
cos30˚ = (선분 AM)÷(선분 AB)
tan30˚ = (선분 BM)÷(선분 AM)
입니다.
(각 ABM) = 60˚으로
sin60˚ = (선분 AM)÷(선분 AB)
cos60˚ = (선분 BM)÷(선분 AB)
tan60˚ = (선분 AM)÷(선분 BM)
입니다.
(2) 45도일 때 삼각비의 값
45도일 때 삼각비의 값은 직각이등변삼각형을 생각해보면 됩니다.
각 C가 직각인 직각삼각형 ABC에 대하여
변 BC의 길이를 1이라고 놓으면 피타고라스의 정리에 의해
(선분 AB의 길이)^2 = (선분 AC의 길이)^2 + (선분 BC의 길이)^2
를 만족합니다.
(선분 BC)=(선분 AC)이므로
(선분 AB의 길이)^2 = 2
따라서 선분 AB의 길이는
입니다.
정리하면 (선분 AB) : (선분 AC) : (선분 BC)는
입니다.
각 A의 크기는 45˚이므로
sin45˚ = (선분 AC)÷(선분 AB)
cos45˚ = (선분 BC)÷(선분 AB)
tan45˚ = (선분 AC)÷(선분 BC)
입니다.
(3) 0도, 90도일 때 삼각비의 값
0도일 때 높이의 길이가 0이므로 삼각비는 다음과 같이 약속합니다.
sin0˚ = 0
cos0˚ = 1
tan0˚ = 0
90도일 때 밑변의 길이가 0이므로 삼각비는 다음과 같이 약속합니다.
sin90˚ = 1
cos90˚ = 0
tan90˚ = 존재하지 않음
* 특정각이 주어졌을 때 삼각비 표
앞서 살펴본 특정각에 대한 삼각비를 정리하면 위와 같습니다.
* 학습지 미리보기
* 첨부파일
2020WP M3-02.pdf 0.12MB
* 닫는 말
이번 학습지는 특정각 0, 30, 45, 60, 90도가 주어졌을 때 sin cos tan 값을 구하는 문제로 구성했습니다.
30, 45, 60도는 정삼각형과 직각이등변삼각형으로 유도할 수 있기 때문에 값을 자주 물어봅시다.
0도와 90도는 특별한 상황이기 때문에 종종 물어봅니다.
문제를 풀어보면서 삼각비 값을 구해봅시다.
삼각형을 그린 후 피타고라스의 정리를 이용해 값을 구해도 괜찮습니다.
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